指導の下にを英語でなんと言うか？

言い方は一つではありませんが、under the tutelage of は代表的なイディオムです。1:55 Farah has experienced his greatest moments under the tutelage of Salazar. 英国のモハメド・ファラー選手はドーピング疑惑に揺れるかつての男子マラソン世界最高記録保持者アルベルト・サラザールの指導を受けて、数々の陸上記録を打ち立てた。

Mo Farah's anger at doping claims aimed at coach
https://www.youtube.com/watch?v=5uO3yNaztQ0  4:47 under the tutelage of one government, of course, which is Germany. EUの青写真はドイツの指図で作られてきた。
[297] Galbraith, Magnus: Greece cannot pay debts, Europe ad hoc + dysfunctional
https://www.youtube.com/watch?v=dDsn1DN0KN4  1:00 he started cooking as a child under his grandmother's tutelage. ポール・ボキューズは子供の頃から祖母の下で料理の修業を積んだ。
Chef Legend Paul Bocuse turns 85 | euromaxx
https://www.youtube.com/watch?v=p6ZUeQv2yFQ&feature=related  3;31 at age 12, Terry Tao came under the tutelage of Professor Garth Gaudry who quickly realized what the boy was capable of. テレンス・タオは12歳のときに数学者のゴードリー教授に弟子入りした。程なくゴードリー教授はタオ少年の秘めている可能性を見出した。
tao

参考リンク
http://bridge-english.blogspot.jp/2012/03/under-auspices-of.html  under the auspices of